観測データから因果を推定──傾向スコア分析

2026年10月14日

イントロダクション

「クーポンをもらった人のほうが、たくさん買っている」。これは、クーポンの効果と言えるでしょうか？

そうとは限りません。マーケティングチームが「もともとよく買ってくれる優良顧客」を狙って配っていた場合、クーポンをもらった人は、クーポンがなくても多く買っていた人たちです。単純に比べると、クーポンの効果と「もともと優良顧客だったこと」の効果が混ざってしまいます。

これを防ぐ一番確実な方法は、対象者をランダムに「あり」「なし」に振り分けるランダム化比較試験（RCT）です。しかし、倫理的に難しい、顧客への説明に困る、すでに施策が始まっている、といった理由で、RCTを組めないことも多くあります。そこで、手元の観測データから「RCTを行ったかのような比較」をつくる手法として、傾向スコアマッチング（PSM）と逆確率重み付け法（IPW）を紹介します。

傾向スコアとは

傾向スコア（Propensity Score）とは、「ある人の特徴が与えられたときに、その人が施策を受ける確率」のことです。

e(x) = P(W = 1 \mid X = x)

入力と出力： 購入頻度や会員歴などの特徴 $x$ から、0〜1の確率を出します（0.8なら、クーポンを受け取りやすい人）
求め方： 施策を受けたか（$W$）を目的変数にした、ロジスティック回帰などで推定します

傾向スコアが同じなら、施策の有無によらず観測された特徴の分布がそろいます。つまり、購入頻度や会員歴などの特徴を、傾向スコアという1つの数字にまとめて比較することができます。

注意点：傾向スコアは「効果の大きさ」ではありません。傾向スコアが高い人は「クーポンを受け取りやすい人」であって、「クーポンの効果が大きい人」ではありません。

傾向スコアマッチング（PSM）

PSMは、「傾向スコアが近い人同士をペアにして、結果の差を比べる」手法です。介入群（クーポンあり）それぞれに、傾向スコアが近い対照群（なし）の人をペアにして、ペアごとの差を平均します。

$\hat{\tau}_{\mathrm{ATT}} = \frac{1}{N_1}\sum_{i: W_i=1}\left(Y_i – Y_{j(i)}\right)$

$N_1$ は介入群の人数、$j(i)$ は個体 $i$ のペアになった対照群の個体です。

数値例で理解する

架空の9人を使います。傾向スコアが近い順にペアを作り、同じ対照群の人は1回しか使いません。単位は千円です。

顧客	クーポン	傾向スコア	月間購入額（千円）	ペア
A	あり	0.80	12	E
B	あり	0.70	10	F
C	あり	0.40	6	G
D	あり	0.30	4	H
E	なし	0.78	10	A
F	なし	0.68	9	B
G	なし	0.42	5	C
H	なし	0.28	2	D
I	なし	0.10	1	（使われない）

図1: 上の表の9人を、傾向スコアの数直線に並べた図。線で結ばれた組（A–E、B–F、C–G、D–H）がペア。傾向スコアが0.10と低い I には、近い介入群の人がいないので、使われない。

① 単純に比べると： あり $\frac{12+10+6+4}{4}=8.0$、なし $\frac{10+9+5+2+1}{5}=5.4$ → 差は $8.0-5.4=2.6$
② PSMで比べると： ペアごとの差は $2,\ 1,\ 1,\ 2$ → 平均 $\frac{2+1+1+2}{4}=1.5$

単純な比較では2,600円増えたように見えますが、PSMでは1,500円です。差の1.1千円は、「もともとよく買う人にクーポンが集中していた」ことによる見かけの効果です。

注意点：顧客Iのように、近い介入群の人がいない場合は、比較から外れます。PSMで推定しているのは、「クーポンを受け取った人にとっての効果（ATT）」です。この例は仕組みの理解用で、実際の分析ではずっと多くのデータを使います。

逆確率重み付け法（IPW）

IPWは、「全員のデータを使うが、その処置を受けにくかった人ほど大きな重みをつけて集計する」手法です。ペアを作る代わりに、重みで人数をそろえます。

$\hat{\tau}_{\mathrm{IPW}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{W_iY_i}{\hat{e}(X_i)} – \frac{(1-W_i)Y_i}{1-\hat{e}(X_i)}\right]$

重みは、「自分が実際に受けた処置を受ける確率」の逆数です。クーポンを受け取った人は $\frac{1}{\hat{e}(X_i)}$、受け取っていない人は $\frac{1}{1-\hat{e}(X_i)}$ です（$\hat{e}(X_i)$ は推定した傾向スコア）。

数値例で理解する

手計算しやすいように、顧客を2つの層に分けた単純な例を使います（架空のデータ、単位は千円）。

層	人数	あり	なし	傾向スコア	平均購入額（あり）	平均購入額（なし）
低頻度層	100	20	80	0.2	3.0	2.0
高頻度層	100	80	20	0.8	9.0	8.0

それぞれの層の中だけで比べると、差はどちらも +1.0 です。

① 単純に比べると： あり $\frac{20\times3.0+80\times9.0}{100}=7.8$、なし $\frac{80\times2.0+20\times8.0}{100}=3.2$ → 差は $7.8-3.2=+4.6$
② 重みを計算する： 低頻度層は、あり $\frac{1}{0.2}=5$、なし $\frac{1}{0.8}=1.25$。高頻度層は、あり $\frac{1}{0.8}=1.25$、なし $\frac{1}{0.2}=5$。人数 × 重みは、$20\times5=80\times1.25=100$ となり、4つのグループすべてが 100人分になります
③ 重み付き平均で比べると： あり $\frac{100\times3.0+100\times9.0}{200}=6.0$、なし $\frac{100\times2.0+100\times8.0}{200}=5.0$ → 差は $6.0-5.0=+1.0$

図2: 上の表の例を図にしたもの。重み付け前は、低頻度層ではクーポンをもらった人が少なく（20人）、高頻度層で多い（80人）。IPWで重み付けすると、4つのグループがすべて100人分にそろい、層の構成の違いが消える。

重みで「どの層にいたか」による偏りが消え、単純比較の+4.6が、各層の実際の効果である+1.0に戻ります。上の式に代入しても、$\frac{1200-1000}{200}=1.0$ と同じ値になります。なお、この式が推定するのは、PSMのATTと違い、「全員にとっての平均的な効果（ATE）」です。

注意点：傾向スコアが0.01の人が1人クーポンを受け取ると、重みは100になり、その1人が100人分として数えられます。推定が不安定になるので、重みに上限を設ける（トリミング）などで対処します。また、IPWと結果を予測する回帰モデルを組み合わせたAIPWは、どちらか一方のモデルが正しければよい（二重にロバスト）という性質を持ち、実務でよく使われます。

結果の確認と実務のポイント

調整のあとは、本当に特徴がそろったかを確認します。代表的な指標が**標準化平均差（SMD）**で、共変量の平均が2つのグループでどれだけ離れているかを、ばらつきを基準にした単位で表します。

$\mathrm{SMD} = \frac{\bar{x}_{\text{介入}} – \bar{x}_{\text{対照}}}{\sqrt{\frac{s_{\text{介入}}^2 + s_{\text{対照}}^2}{2}}}$

0に近いほど、特徴がそろっています。調整の前後で比べて、後のほうが小さくなっていれば、うまくいっています。傾向スコアのモデルが適切かどうかは、このバランスの確認で判断します。

確認すること	目安・ポイント
共通サポート	傾向スコアの分布が、介入群と対照群で重なっているか。重ならない範囲は比較できない
バランス（SMD）	0.1未満が目安（0.25を基準にする場合もある）。サンプルが少ないと、偶然の偏りで大きく出ることがある
キャリパー（PSM）	傾向スコアのロジットの標準偏差の0.2倍が目安（平均の差を推定する場合）

※ 目安は分野や目的によって調整が必要です。傾向スコアを使う手法には、PSM・IPWのほかに、層別化と共変量調整があります。

よくある誤解と注意点

観測していない要因は調整できません。 傾向スコアで調整できるのは、データに含まれている共変量だけです。「営業担当者の勘で配った」のに、その中身がデータにない場合、偏りは残ります。RCTのような保証はありません。
施策の後で測定された変数は入れません。 クーポン配布後の閲覧数のように、施策の結果として変わる変数を入れると、効果の一部を調整で消してしまいます。